מחשבון התפלגות גאומטרית

מחבר: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

מחשבון התפלגות גאומטרית

חשב פונקציית מסת הסתברות (PMF), פונקציית התפלגות מצטברת (CDF), ממוצע, שונות וסטטיסטיקות נוספות עבור ההתפלגות הגאומטרית עם הסתברות הצלחה p.

קלט פרמטרים

אפשרויות חישוב

אפשרויות תצוגה

אודות ההתפלגות הגאומטרית

ההתפלגות הגאומטרית מתארת את מספר הניסיונות הדרושים להשגת ההצלחה הראשונה בסדרת ניסיונות ברנולי בלתי תלויים, שלכל אחד מהם אותה הסתברות להצלחה p.

שתי גרסאות נפוצות
  • מספר ניסיונות: סופר את מספר הניסיונות הכולל עד (כולל) ההצלחה הראשונה. תחום: x ∈ {1, 2, 3, ...}
  • מספר כישלונות: סופר רק את הכישלונות לפני ההצלחה הראשונה. תחום: x ∈ {0, 1, 2, ...}

שתי הגרסאות נמצאות בשימוש מעשי, לכן חשוב להבהיר עם איזו מהן עובדים.

תכונות עיקריות
  • תכונת חוסר הזיכרון: P(X > s + t | X > s) = P(X > t)
  • ממוצע (ערך צפוי): E[X] = 1/p (ניסיונות) או (1-p)/p (כישלונות)
  • שונות: Var(X) = (1-p)/p² (שתי הגרסאות)
  • שכיח: תמיד 1 (ניסיונות) או 0 (כישלונות)
  • צידוד: (2-p)/√(1-p) > 0, המצביע על צידוד ימינה
יישומים

ההתפלגות הגאומטרית משמשת בדרך כלל למודל:

  • מספר הניסיונות הדרושים להשגת הצלחה
  • זמן ההמתנה עד להתרחשות הראשונה של אירוע
  • בקרת איכות (מספר פריטים שנבדקו עד למציאת פגם)
  • בדיקת מהימנות (מספר ניסיונות עד לכשל ציוד)
  • משחקי מזל (מספר הטלות עד לתוצאה מסוימת)
  • מודל של רכישת לקוחות או תהליכי המרה
קשר להתפלגויות אחרות
  • ההתפלגות הגאומטרית היא מקרה פרטי של ההתפלגות הבינומית השלילית כאשר r = 1 (הצלחה אחת).
  • היא האנלוג הבדיד של ההתפלגות האקספוננציאלית הרציפה.
  • בדומה להתפלגות האקספוננציאלית, זוהי ההתפלגות הבדידה היחידה חסרת הזיכרון.

נוסחאות מפתח להתפלגות גאומטרית

פונקציית מסת ההסתברות (PMF) למספר ניסיונות:
\( P(X = x) = (1-p)^{x-1} \times p \quad \text{עבור} \quad x = 1,2,3,... \)

פונקציית מסת ההסתברות (PMF) למספר כשלונות:
\( P(X = x) = (1-p)^x \times p \quad \text{עבור} \quad x = 0,1,2,... \)

פונקציית ההתפלגות המצטברת (CDF):
\( P(X \leq x) = 1 - (1-p)^x \)

תוחלת:
ניסיונות: \( \mu = \frac{1}{p} \quad \) כשלונות: \( \mu = \frac{1-p}{p} \)

שונות:
\( \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2} \)

סטיית תקן:
\( \sigma = \sqrt{ \frac{1-p}{p^2} } \)

מהו מחשבון ההתפלגות הגאומטרית?

מחשבון ההתפלגות הגאומטרית הוא כלי סטטיסטי רב עוצמה המסייע לכם לחשב בקלות הסתברויות וסטטיסטיקות תיאוריות עבור ההתפלגות הגאומטרית. הוא מפשט ניתוח הסתברות וסטטיסטיקה על ידי מתן תוצאות כגון פונקציית מסת ההסתברות (PMF), פונקציית ההתפלגות המצטברת (CDF), תוחלת, שונות וסטיית תקן. בין אם אתם צריכים לפתור עבור ניסיונות או כשלונות, פותר התפלגות הסתברות זה מכסה את כל הצרכים שלכם.

כיצד מחשבון זה יכול לעזור לכם

שימוש בכלי ניתוח סטטיסטי זה מאפשר לכם:

  • לחשב במהירות את הסבירות להצלחה לאחר מספר מסוים של ניסיונות או כשלונות.
  • למצוא את מספר הניסיונות או הכשלונות הצפוי עד להצלחה הראשונה.
  • להמחיש את התפלגות ההסתברויות באמצעות גרפים אינטואיטיביים.
  • לחקור מדדים סטטיסטיים חיוניים כמו תוחלת, שונות וסטיית תקן לצורך ניתוח נתונים טוב יותר.

הוא משמש כעוזר אמין לניתוח נתונים בעבודה עם אירועים אקראיים, ניסיונות או תוצאות בינאריות. הוא שימושי גם עבור יישומי עזר להסתברות וסטטיסטיקה כמו בקרת איכות, מחקרי אמינות וניתוח התנהגות לקוחות.

כיצד להשתמש במחשבון ההתפלגות הגאומטרית

ההתחלה קלה. בצעו את השלבים הפשוטים הבאים:

  • שלב 1: הזינו את הסתברות ההצלחה (p) בין 0 ל-1.
  • שלב 2: בחרו את סוג ההתפלגות:
    • מספר ניסיונות: סופר ניסיונות כולל ההצלחה.
    • מספר כשלונות: סופר כשלונות לפני ההצלחה הראשונה.
  • שלב 3: בחרו את סוג החישוב (PMF, CDF, גדול מ-, לפחות, או תוחלת).
  • שלב 4: הזינו את ערך ה-x שעבורו אתם רוצים את ההסתברות, או השאירו ריק אם מחשבים את התוחלת.
  • שלב 5: התאימו הגדרות אופציונליות כמו מספר מקומות עשרוניים או אפשרויות גרף לפי הצורך.
  • שלב 6: לחצו על חשב כדי לראות תוצאות, גרפים ושלבי פתרון מפורטים.

זה הופך אותו למשאב חישוב סטטיסטי ידידותי למשתמש עבור כל מי שמטפל בבעיות התפלגות הסתברות.

מדוע הבנת ההתפלגות הגאומטרית חשובה

ההתפלגות הגאומטרית היא מפתח בניתוח סטטיסטי משום שהיא מדגמנת את "זמן ההמתנה" עד להצלחה הראשונה. שימושים נפוצים כוללים:

  • בדיקות בקרת איכות (מציאת הפריט הפגום הראשון).
  • חיזוי כמה ניסיונות נדרשים כדי לנצח במשחקי מזל.
  • ניתוח שיעורי רכישת לקוחות או כשל במערכות.

שליטה במושג זה משפרת את יכולתכם לנתח מערכי נתונים במדויק ולפרש אירועים מהעולם האמיתי באמצעות חישובים סטטיסטיים.

שאלות נפוצות (FAQ)

מהי התפלגות גאומטרית?

ההתפלגות הגאומטרית מדגמנת את מספר הניסיונות הבלתי תלויים הדרושים לקבלת ההצלחה הראשונה, כאשר לכל ניסיון יש אותה הסתברות הצלחה. זהו סוג של התפלגות הסתברות בדידה.

מתי עלי להשתמש במחשבון זה?

השתמשו בכלי ההסתברות הגאומטרי הזה בכל פעם שאתם רוצים לחשב הסתברויות, תוחלות או שונות הקשורות לסדרה של ניסיונות בלתי תלויים המובילים להצלחה הראשונה.

מה ההבדל בין ניסיונות לכשלונות?

  • גרסת הניסיונות: סופרת את כל הניסיונות כולל המוצלח. x = 1, 2, 3, …
  • גרסת הכשלונות: סופרת רק את הכשלונות לפני ההצלחה הראשונה. x = 0, 1, 2, …

מה אם הסתברות ההצלחה שלי קטנה מאוד?

המחשבון עדיין עובד! הסתברויות קטנות נפוצות בבדיקות אמינות ובדוגמנות אירועים נדירים. התוצאות יוצגו בדיוק גבוה באמצעות הגדרת המקומות העשרוניים.

האם אוכל להשתמש בו למטרות חינוכיות?

בהחלט! זהו כלי ניתוח סטטיסטי מושלם עבור תלמידים, מורים וחוקרים העוסקים בהסתברות, תוחלת וחציון, סטיית תקן ועוד.

כלים קשורים שעשויים להיות שימושיים עבורכם