מחשבון משפט דה-מואבר

מחבר: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

מחשבון משפט דה-מואבר

חישוב חזקות ושורשים של מספרים מרוכבים באמצעות משפט דה-מואבר: (r∠θ)n = rn∠nθ

קלט מספר מרוכב

פעולה

zn חזקה
n√z שורש

אפשרויות תצוגה

אודות משפט דה-מואבר

משפט דה-מואבר מספק נוסחה לחישוב חזקות ושורשים של מספרים מרוכבים בצורה קוטבית. הוא קובע שלכל מספר מרוכב בצורה קוטבית r∠θ (או reiθ):

(r∠θ)n = rn∠nθ
או באופן שקול: (reiθ)n = rneinθ
יישומים
  • חזקות של מספרים מרוכבים: חישוב קל של zn על ידי העלאת הערך המוחלט בחזקה והכפלת הזווית.
  • שורשים של מספרים מרוכבים: מצא את כל nה- שורשים של מספר מרוכב z באמצעות הנוסחה:
    n√z = z1/n = r1/n∠(θ/n + 2πk/n)

    כאשר k = 0, 1, 2, ..., n-1 נותן את כל השורשים השונים.

  • זהויות טריגונומטריות: ניתן להשתמש במשפט דה-מואבר כדי לגזור נוסחאות עבור cos(nθ) ו-sin(nθ).
רקע מתמטי

המשפט מבוסס על נוסחת אוילר: eiθ = cos(θ) + i·sin(θ), המחברת בין אקספוננטים מרוכבים לפונקציות טריגונומטריות. עם חיבור זה, ניתן לייצג מספר מרוכב בשלוש צורות שקולות:

  • צורה מלבנית: z = a + bi
  • צורה קוטבית: z = r∠θ = r(cos(θ) + i·sin(θ))
  • צורה אקספוננציאלית: z = reiθ

משפט דה-מואבר מפשט חישובים עם מספרים מרוכבים על ידי כך שהוא מאפשר לבצע פעולות על הערך המוחלט והזווית בנפרד.

נוסחת דה-מואבר:
(r∠θ)n = rn∠nθ
(reiθ)n = rneinθ

מהו מחשבון משפט דה-מואבר?

מחשבון משפט דה-מואבר עוזר לך למצוא חזקות ושורשים של מספרים מרוכבים באמצעות חישובים פשוטים בצורה קוטבית. הוא מיישם את נוסחת דה-מואבר כדי לפתור במהירות חזקות או שורשים של מספרים מרוכבים, שאחרת היו דורשים מספר צעדים ידניים.

מחשבון זה שימושי במיוחד לפעולות עם מספרים מרוכבים ויכול להמיר בקלות בין צורה מלבנית לצורה קוטבית. הוא גם מספק פתרונות שלב-אחר-שלב והדמיות במישור המרוכב, מה שמקל על הלמידה.

כיצד להשתמש במחשבון משפט דה-מואבר

  • בחר שיטת קלט: בחר בין צורה מלבנית (a + bi) לבין צורה קוטבית (r∠θ).
  • הזן ערכים: ספק את החלקים הממשיים והמדומים או את הגודל והזווית.
  • בחר פעולה: בחר אם ברצונך לחשב חזקה (zn) או למצוא שורשים (√nz).
  • הגדר דיוק עשרוני: בחר כמה מקומות עשרוניים תרצה בתשובה.
  • הגדרות אופציונליות: בחר אם ברצונך להציג שלבים מפורטים והדמיה במישור המרוכב.
  • לחץ על חשב: הצג תוצאות בצורה מלבנית, קוטבית ואקספוננציאלית באופן מיידי.

תכונות עיקריות של מחשבון זה

  • מטפל גם בחזקות וגם בשורשים של מספרים מרוכבים.
  • תומך בקלטים מלבניים וקוטביים כאחד.
  • מציג תוצאות בשלוש צורות: מלבנית, קוטבית ואקספוננציאלית.
  • מציג שלבים מפורטים ללמידה והבנה.
  • מספק הדמיה במישור המרוכב לראות תוצאות בצורה גרפית.

למה להשתמש במחשבון משפט דה-מואבר?

שימוש בכלי זה חוסך זמן ומונע שגיאות המתרחשות לעיתים קרובות בחישובים ידניים. הוא מושלם עבור תלמידים, מורים וכל מי שעובד עם פעולות במספרים מרוכבים. הוא יכול גם לסייע במשימות קשורות הנמצאות במחשבון מספרים מרוכבים, כגון המרה בין צורה קוטבית למלבנית, או כאשר יש צורך לפתור משוואות מרוכבות.

אם אתה מחפש עזרה בחישובים מתקדמים יותר כמו מציאת שורשים מרוכבים, פתרון משוואות פולינומיאליות, או עבודה עם הצורה הקוטבית של מספרים מרוכבים, מחשבון זה משתלב היטב עם כלים כמו מחשבון המרה לצורה קוטבית, מחשבון שורשים מרוכבים, או אפילו מחשבון שורשי פולינום.

יישומים של משפט דה-מואבר

  • חישוב חזקות גבוהות של מספרים מרוכבים בקלות.
  • מציאת כל שורשי ה-n של מספר מרוכב.
  • סיוע בגזירת זהויות טריגונומטריות עבור סינוס וקוסינוס.
  • שימושי בעבודה עם כלים מתמטיים אחרים כמו מחשבון פונקציה הפוכה או מחשבון לוגריתם.

שאלות נפוצות (FAQ)

למה משמש משפט דה-מואבר?

הוא משמש להעלאת מספרים מרוכבים בחזקה או למציאת שורשיהם במהירות על ידי עבודה עם הגודל והזווית שלהם במקום עם החלקים הממשיים והמדומים.

האם מחשבון זה יכול למצוא את כל השורשים של מספר מרוכב?

כן, הוא מוצא את כל שורשי ה-n השונים, מציג כל אחד מהם בבירור ועוזר לך לדמיין אותם במישור המרוכב.

האם יש דרך לראות את השלבים?

כן, אתה יכול להפעיל את האפשרות "הצג שלבים" כדי לראות פירוט מלא ופשוט של הפתרון.

מה אם אני רוצה להמיר בין צורות?

מחשבון זה מציג אוטומטית את התוצאה בצורה מלבנית, קוטבית ואקספוננציאלית. להמרה ממוקדת, כלים כמו מחשבון המרה לצורה קוטבית או מחשבון המרה מצורה קוטבית למלבנית יכולים גם הם לעזור.

האם מחשבון זה יכול לעזור בפתרון פונקציות הפוכות?

בעוד שהמיקוד הוא בחזקות ושורשים של מספרים מרוכבים, פתרון לפונקציות הפוכות יכול לכלול חשבון מרוכב, שם ייתכן שיהיה צורך גם במחשבון פונקציה הפוכה או במחשבון סינוס היפרבולי הפוך, בהתאם לבעיה.

כלים קשורים שימושיים

  • כלי פונקציה הפוכה: מצא במהירות פונקציות הפוכות ופתור עבור הופכיים עם הסברים שלב-אחר-שלב.
  • עוזר משוואות לוגריתמיות: פתור פונקציות לוגריתמיות, מצא בסיסי לוג והמרת בסיסים.
  • כלי נוסחת נקודת אמצע: חשב בקלות את נקודת האמצע בין שתי נקודות באינטרנט.
  • מחשבון פעולות על פונקציות: שלב, חבר, חסר, כפל או חלק פונקציות בקלות.
  • פותר שברים חלקיים: פרק ביטויים רציונליים ופשט שברים מורכבים.
  • כלי חשבון מרוכב: בצע פעולות כמו חיבור, כפל ופתרון משוואות מרוכבות.