מחשבון דיברגנץ

מחבר: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

מחשבון דיברגנץ

חשב את הדיברגנץ של שדה וקטורי. הדיברגנץ מודד את הקצב שבו "צפיפות" יוצאת מאזור נתון במרחב ומהווה מושג מרכזי בחשבון וקטורי.

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

קלט שדה וקטורי

אפשרויות תצוגה

על דיברגנץ

דיברגנץ הוא גודל סקלרי המודד את הנטייה של שדה וקטורי "לזרום" הרחק מנקודה או אליה. הוא מסומן ב-∇·F (דל נקודה F) או div F.

הגדרה מתמטית:

עבור שדה וקטורי F = (F₁, F₂, F₃) בקואורדינטות קרטזיות תלת-ממדיות, הדיברגנץ מוגדר כ:

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
פרשנות פיזיקלית:

דיברגנץ מודד את הזרימה הנטו של שדה מתוך נפח קטן סביב נקודה. בנקודה נתונה:

  • דיברגנץ חיובי: השדה זורם החוצה (מקור)
  • דיברגנץ שלילי: השדה זורם פנימה (בור)
  • דיברגנץ אפס: לשדה אין זרימה נטו פנימה או החוצה (בלתי דחיס)
דיברגנץ במערכות קואורדינטות שונות:

קואורדינטות קרטזיות (x, y, z):

∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

קואורדינטות גליליות (r, θ, z):

∇·F = (1/r) · ∂(r·Fr)/∂r + (1/r) · ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z

קואורדינטות כדוריות (ρ, θ, φ):

∇·F = (1/ρ²) · ∂(ρ²·Fρ)/∂ρ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂(sin(φ)·Fθ)/∂θ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂Fφ/∂φ
יישומים:
  • אלקטרומגנטיות: חוק גאוס מקשר בין דיברגנץ השדה החשמלי לצפיפות המטען
  • דינמיקת נוזלים: דיברגנץ שדה המהירות מציין דחיסות של נוזלים
  • העברת חום: דיברגנץ שטף החום מתאר מקורות חום או בורות
  • מכניקת קוונטים: דיברגנץ צפיפות הזרם קשור לשימור מטען

מהו מחשבון הדיברגנס?

מחשבון הדיברגנס הוא כלי אינטראקטיבי שעוזר לך לחשב את הדיברגנס של שדה וקטורי במרחב דו-ממדי או תלת-ממדי. דיברגנס הוא מושג מחשבון וקטורי המציין עד כמה שדה וקטורי מתפשט או מתכנס בנקודה נתונה. כלי זה תומך במערכות קואורדינטות קרטזיות, גליליות וכדוריות.

הוא שימושי במיוחד לסטודנטים, מהנדסים ולכל מי שעובד עם שדות פיזיקליים כמו זרימת נוזלים, אלקטרומגנטיות או תרמודינמיקה.

נוסחת הדיברגנס בקואורדינטות קרטזיות:
div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

תכונות עיקריות

  • תומך בשדות וקטוריים דו-ממדיים ותלת-ממדיים
  • בחירה בין קואורדינטות קרטזיות, גליליות וכדוריות
  • אפשרות לחישוב דיברגנס בנקודה ספציפית
  • פירוק שלב-אחר-שלב של נגזרות חלקיות
  • אפשרות לפשט תוצאות ולשלוט בדיוק העשרוני

כיצד להשתמש במחשבון

  1. בחר את מספר הממדים (דו-ממדי או תלת-ממדי).
  2. בחר את מערכת הקואורדינטות המתאימה לבעיה שלך.
  3. הזן את רכיבי השדה הווקטורי (למשל, F₁, F₂, F₃).
  4. אופציונלי: בחר לחשב בנקודה ספציפית על ידי הפעלת "חשב בנקודה".
  5. כוונן הגדרות תצוגה כמו מספר מקומות עשרוניים או יחידות זווית במידת הצורך.
  6. לחץ על חשב דיברגנס כדי לראות תוצאות ושלבי פתרון אופציונליים.

למה זה שימושי?

הבנת הדיברגנס עוזרת לפרש כיצד שדה מתנהג במרחב. כלי זה מאפשר לך:

  • לחשב דיברגנס בצורה חזותית ומדויקת
  • לחקור התנהגות שדות בפיזיקה, הנדסה ומתמטיקה
  • לתרגל גזירה רב-משתנית ושלבי נגזרות חלקיות
  • לוודא עבודה שנעשתה ידנית או במהלך פתרון בעיות

הוא שימושי במיוחד בשילוב עם כלים כמו מחשבון נגזרות חלקיות, מחשבון נגזרת כיוונית או מחשבון רוטור, במיוחד ללימוד חשבון דיפרנציאלי רב-משתני.

כלים קשורים

מחשבון זה משתלב במשפחה של פותרי מתמטיקה הכוללים:

  • מחשבון נגזרות חלקיות – חישוב נגזרות חלקיות שלב-אחר-שלב
  • מחשבון נגזרת כיוונית – ניתוח שינויים בשדה וקטורי בכיוון מסוים
  • מחשבון נגזרת שנייה – הערכת שינויים מסדר שני לניתוח מעמיק יותר
  • מחשבון רוטור – חישוב הרוטור של שדות וקטוריים לבחינת התנהגות סיבובית

שאלות נפוצות

מהו דיברגנס?
דיברגנס מודד עד כמה שדה וקטורי מתפשט (דיברגנס חיובי) או מתכנס (דיברגנס שלילי) בנקודה.

האם הכלי יכול לחשב נגזרות חלקיות?
כן. מחשבון זה מבצע גזירה רב-משתנית ברקע, ומחשב נגזרות חלקיות של כל רכיב בשדה הווקטורי.

מה ההבדל בין קואורדינטות קרטזיות, גליליות וכדוריות?
אלו דרכים שונות לתאר מיקומים במרחב. קרטזיות משתמשות ב-(x, y, z), גליליות ב-(r, θ, z), וכדוריות ב-(ρ, θ, φ). בחר את המערכת המתאימה ביותר לשדה או לבעיה שלך.

האם עלי להזין מספרים או פונקציות?
אתה יכול להזין ביטויים כמו x*y*z, sin(θ) או r*cos(θ). המחשבון מטפל במתמטיקה סימבולית ויכול גם להעריך ערכים בנקודות ספציפיות אם תתבקש.

האם זה עובד עבור שדות דו-ממדיים?
כן. פשוט בחר דו-ממדי והממשק יתכוונן בהתאם. הרכיב השלישי יוסר.

האם אני יכול ללמוד מהשלבים?
בהחלט. אם "הצג שלבי פתרון" מופעל, הכלי מפרק כיצד מחושבות נגזרות חלקיות וכיצד הן משתלבות לביטוי הדיברגנס הסופי.