מחשבון כלל סימפסון

מחבר: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

מחשבון כלל סימפסון

חשב אינטגרלים מסוימים באופן נומרי באמצעות כלל סימפסון. מחשבון זה מקרב את האינטגרל של פונקציה על פני מרווח מוגדר על ידי התאמת קשתות פרבוליות דרך נקודות במרחקים שווים.

פרמטרי אינטגרציה

השתמש ב-x כמשתנה. פונקציות מתמטיות: sin, cos, tan, log, sqrt וכו'.
חייב להיות מספר זוגי עבור כלל סימפסון

אפשרויות הדמיה

הבנת כלל סימפסון

כלל סימפסון היא שיטת קירוב נומרית לאינטגרלים מסוימים. היא מקרבת את הפונקציה באמצעות פולינומים ריבועיים, המספקים דיוק טוב יותר משיטות פשוטות יותר כמו כלל הטרפז.

הנוסחה
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

כאשר:

  • h = (b - a) / n הוא רוחב כל תת-מרווח
  • n הוא מספר תת-המרווחים (חייב להיות זוגי)
  • xi = a + i·h הן הנקודות במרחקים שווים
איבר השגיאה

לכלל סימפסון יש איבר שגיאה מסדר O(h5), כלומר השגיאה פרופורציונלית ל-h4. באופן ספציפי:

\text{Error} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

כאשר f(4)(ξ) היא הנגזרת הרביעית של f בנקודה כלשהי ξ בין a ל-b.

השוואה לשיטות אחרות
  • כלל נקודת האמצע: השגיאה היא O(h3), less accurate than Simpson's Rule
  • Trapezoidal Rule: השגיאה היא O(h3), less accurate than Simpson's Rule
  • Simpson's 3/8 Rule: Similar accuracy to Simpson's Rule
  • Gaussian Quadrature: More accurate for certain function classes

Disclaimer: This calculator provides numerical approximations that may contain errors, especially for functions with singularities or rapid oscillations. Always verify important results with alternative methods or analytical solutions when possible.

מהו מחשבון חוק סימפסון?

מחשבון חוק סימפסון הוא כלי אינטראקטיבי שמעריך את הערך של אינטגרל מסוים. במקום לפתור אינטגרלים מורכבים ידנית, מחשבון זה מיישם שיטה נומרית אמינה לקירוב השטח מתחת לעקומה, הנקראת חוק סימפסון. הוא שימושי במיוחד עבור פונקציות שקשה או בלתי אפשרי לבצע אינטגרציה אנליטית שלהן.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

שיטה זו מחלקת את הקטע למספר זוגי של חלקים ומתאימה פרבולות דרך נקודות על גרף הפונקציה. היא מספקת דיוק טוב יותר מאשר חוק הטרפז או חוק נקודת האמצע.

למה להשתמש בו?

בין אם אתה סטודנט, מורה, מהנדס או לומד סקרן, מחשבון חוק סימפסון עוזר לך:

  • להעריך אינטגרלים מסוימים במהירות
  • להמחיש כיצד השטח מתחת לעקומה מקורב
  • להבין את ההשפעה של שינוי מספר הקטעים
  • לבצע ניתוח שגיאות ולראות התנהגות התכנסות

הוא גם משלים כלים אחרים כמו מחשבון האינטגרל לפתרון אינטגרלים מסוימים או בלתי מסוימים ומחשבון האנטי-נגזרת למציאת אנטי-נגזרות. אם אתה עובד עם פונקציות מרובות משתנים, בדוק את מחשבון הנגזרת החלקית לחישוב נגזרות חלקיות או ניתוח גזירה מרובת משתנים.

כיצד להשתמש במחשבון

בצע את הצעדים הפשוטים הבאים כדי לקבל קירוב מדויק של האינטגרל המסוים שלך:

  1. הזן את הפונקציה שברצונך לבצע אינטגרציה בתיבת הקלט (השתמש ב-x כמשתנה).
  2. קבע את הגבול התחתון והעליון של קטע האינטגרציה.
  3. בחר את מספר הקטעים (חייב להיות מספר זוגי).
  4. לחלופין, אפשר שרטוט של הפונקציה וויזואליזציה של הקירוב.
  5. לחץ על "חשב אינטגרל" כדי לראות את התוצאה, הגרף והפירוט.

אתה יכול לאפס את המחשבון בכל עת באמצעות כפתור "איפוס".

מקרי שימוש נפוצים

השתמש במחשבון חוק סימפסון כדי:

  • לקרב את השטח מתחת לעקומות כאשר האינטגרל המדויק קשה לחישוב
  • להשוות תוצאות נומריות עם פתרונות מדויקים מפותר אינטגרלים
  • לנתח התכנסות על ידי הגדלת מספר הקטעים
  • לקבל תובנות על התנהגות השגיאה במספרי קטעים שונים

זה שימושי במיוחד לבדיקת עבודה או להשלמת תוצאות מכלים כמו מחשבון הנגזרת השנייה או מחשבון הנגזרת הכיוונית בניתוח מרובה משתנים.

שאלות נפוצות

ש: איזה סוג של פונקציות אני יכול להזין?
כל פונקציה המשתמשת ב-x כמשתנה. ביטויים נפוצים כוללים פולינומים, פונקציות טריגונומטריות, אקספוננציאליות ולוגריתמיות. לדוגמה: x^2 + sin(x).

ש: למה מספר הקטעים חייב להיות זוגי?
חוק סימפסון מסתמך על התאמת פרבולות על פני זוגות של קטעים. מספר אי-זוגי של קטעים ישבור את ההתאמה הזו.

ש: עד כמה שיטה זו מדויקת?
חוק סימפסון מדויק מאוד עבור פונקציות חלקות ומשתפר עם יותר קטעים. המחשבון גם מציג מידע על שגיאה והתכנסות.

ש: מה אם הפונקציה שלי אינה מוגדרת בנקודה מסוימת?
הימנע מפונקציות עם סינגולריות או אי-רציפות בתוך הקטע. אלה עלולות לגרום לתוצאות לא מדויקות או לשגיאות בחישוב.

מחשבות אחרונות

מחשבון זה הוא כלי עזר שימושי ללימוד חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ולפתרון בעיות מהעולם האמיתי הכרוכות באינטגרציה. הוא חלק ממערך רחב יותר של כלים מתמטיים כמו מחשבון הנגזרת, מחשבון הנגזרת ההפוכה ומחשבון הגבול שמפשטים את הלמידה והיישום של מושגים מתמטיים מתקדמים.